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  1. 2009.07.28 정규분포 표

정규분포 표

통계분석 2009. 7. 28. 11:42 |

 

  정규분포                        

 정규분포의 윗쪽확률　　　　                       　                         

　표준정규분포에서, 표준득점 ( z0 ) 이 어떤 값을 취할 때의 윗쪽확률 P｛ z > z0 ｝을 구한다.
예를 들어 z0 = 1.96 일 때, 왼쪽 첫열 1.9 가 있는 행을 따라 제일 윗열의 0.06 에 해당되는 열과 교차되는 곳의 0.0250 이 구하는 값이다.
양쪽확률은 얻어진 값의 2배가 된다 ( ∵ 대칭의 반대쪽도 포함 ).  즉 z0 = 1.96 일 때, 0.0500 이 된다.

표준 정규 확률표

Z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0

 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641

0.1

 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247

0.2

 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859

0.3

 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483

0.4

 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121

0.5

 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776

0.6

 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451

0.7

 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148

0.8

 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867

0.9

 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611

1.0

 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379

1.1

 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170

1.2

 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985

1.3

 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823

1.4

 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681

1.5

 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559

1.6

 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455

1.7

 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367

1.8

 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294

1.9

 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233

2.0

 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183

2.1

 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143

2.2

 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110

2.3

 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084

2.4

 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064

2.5

 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048

2.6

 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036

2.7

 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026

2.8

 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019

2.9

 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014

3.0

 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010

 

  t 분포                            

 t 분포의 양쪽확률 (다른 표와 달리 양쪽 확률표임에 주의)                                                                                                     

t 분포에서 양쪽확률이 α로 되는 %점을 구한다. 자유도 φ =10 일 때　
양쪽확률의 경우는 첫행에 0.05 로 쓰여있는 열의 값 2.228 이 구하는 값이다. 
한쪽확률이 0.05 가 되는 %점은, 양쪽으로는 0.10 이 됨으로 0.10 의 열에서 찾아야 한다. 1.812 이다.

ｔ分布

φ＼α

0.20

0.10

0.05

0.02

0.01

0.002

0.001

1

 3.08 6.31 12.71 31.82 63.66 318.31 636.62

2

 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.327 31.599

3

 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.215 12.924

4

 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.610

5

 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6.869

6

 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.959

7

 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.408

8

 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.041

9

 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.781

10

 1.372 1.812

2.228

 2.764 3.169 4.144 4.587

11

 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 4.437

12

 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 4.318

13

 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 4.221

14

 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 4.140

15

 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.073

16

 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686 4.015

17

 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646 3.965

18

 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610 3.922

19

 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579 3.883

20

 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 3.850

21

 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527 3.819

22

 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505 3.792

23

 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 3.768

24

 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467 3.745

25

 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 3.725

26

 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 3.707

27

 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 3.690

28

 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 3.674

29

 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396 3.659

30

 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.646

40

 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 3.551

60

 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 3.460

120

 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 3.373

∞

 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090 3.291

 

  F 분포   ( α = 0.05 )           

 F분포의 윗쪽확률                                                                  　

F분포에서 윗쪽확률이 α=0.05 가 되는 %점 F0 을 구한다. （ α = P｛ F > F0 ｝）
예을 들면, 분자 자유도가 2, 분모 자유도가 10 의 F 분포에서 윗쪽확률이 0.05 가 되는 %점은 왼쪽 첫열의 10 으로 쓰여있는 행 ( 자유도 φ2 = 10 )의 오른쪽을 따라 첫째행에 2 라고 쓰여있는 열 (분자 자유도 φ1=2 )의 값 4.10 이 구하는 값이다. 

Ｆ分布　（α = 0.05 ）

 

φ1  (분자 자유도)

φ2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

30

∞

1

 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.0 243.9 245.9 248.0 250.1 254.3

2

 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.40 19.41 19.43 19.45 19.46 19.50

3

 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.76 8.74 8.70 8.66 8.62 8.53

4

 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.94 5.91 5.86 5.80 5.75 5.63

5

 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.70 4.68 4.62 4.56 4.50 4.36

6

 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.03 4.00 3.94 3.87 3.81 3.67

7

 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.60 3.57 3.51 3.44 3.38 3.23

8

 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.31 3.28 3.22 3.15 3.08 2.93

9

 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.10 3.07 3.01 2.94 2.86 2.71

10

 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.94 2.91 2.85 2.77 2.70 2.54

11

 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.82 2.79 2.72 2.65 2.57 2.40

12

 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.72 2.69 2.62 2.54 2.47 2.30

13

 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.63 2.60 2.53 2.46 2.38 2.21

14

 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.57 2.53 2.46 2.39 2.31 2.13

15

 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.51 2.48 2.40 2.33 2.25 2.07

16

 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.46 2.42 2.35 2.28 2.19 2.01

17

 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.41 2.38 2.31 2.23 2.15 1.96

18

 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.37 2.34 2.27 2.19 2.11 1.92

19

 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.34 2.31 2.23 2.16 2.07 1.88

20

 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.31 2.28 2.20 2.12 2.04 1.84

21

 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.28 2.25 2.18 2.10 2.01 1.81

22

 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.26 2.23 2.15 2.07 1.98 1.78

23

 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.24 2.20 2.13 2.05 1.96 1.76

24

 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.22 2.18 2.11 2.03 1.94 1.73

25

 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.20 2.16 2.09 2.01 1.92 1.71

26

 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.18 2.15 2.07 1.99 1.90 1.69

27

 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.17 2.13 2.06 1.97 1.88 1.67

28

 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.15 2.12 2.04 1.96 1.87 1.65

29

 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.14 2.10 2.03 1.94 1.85 1.64

30

 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.13 2.09 2.01 1.93 1.84 1.62

40

 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.04 2.00 1.92 1.84 1.74 1.51

60

 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.95 1.92 1.84 1.75 1.65 1.39

120

 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.87 1.83 1.75 1.66 1.55 1.25

∞

 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.79 1.75 1.67 1.57 1.46 1.00

 

  F 분포   ( α = 0.01 )           

　　                                                                                          

　F분포에서 윗쪽확률이 α=0.01 이 되는 %점 F0을 구하는 표이다. （ α = P｛ F > F0 ｝）　
예을 들면, 분자 자유도가 2, 분모 자유도가 10의 F 분포에서 윗쪽확률이 0.01이 되는 %점은 왼쪽 첫열의 10으로 쓰여있는 행 (분모 자유도 φ2=10)의 오른쪽을 따라 첫째행에 2라고 쓰여있는 열(분자 자유도 φ1=2)의 값 7.56 이 구하는 값이다.

Ｆ分布　（α = 0.01）

 

φ1

φ2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

30

∞

1

 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6083 6106 6157 6209 6261 6366

2

 98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40 99.41 99.42 99.43 99.45 99.47 99.50

3

 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 27.13 27.05 26.87 26.69 26.50 26.13

4

 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.45 14.37 14.20 14.02 13.84 13.46

5

 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.96 9.89 9.72 9.55 9.38 9.02

6

 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.79 7.72 7.56 7.40 7.23 6.88

7

 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.54 6.47 6.31 6.16 5.99 5.65

8

 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.73 5.67 5.52 5.36 5.20 4.86

9

 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 5.18 5.11 4.96 4.81 4.65 4.31

10

 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.77 4.71 4.56 4.41 4.25 3.91

11

 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.46 4.40 4.25 4.10 3.94 3.60

12

 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.22 4.16 4.01 3.86 3.70 3.36

13

 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 4.02 3.96 3.82 3.66 3.51 3.17

14

 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.86 3.80 3.66 3.51 3.35 3.00

15

 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.73 3.67 3.52 3.37 3.21 2.87

16

 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 3.62 3.55 3.41 3.26 3.10 2.75

17

 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 3.52 3.46 3.31 3.16 3.00 2.65

18

 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.43 3.37 3.23 3.08 2.92 2.57

19

 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.36 3.30 3.15 3.00 2.84 2.49

20

 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.29 3.23 3.09 2.94 2.78 2.42

21

 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 3.24 3.17 3.03 2.88 2.72 2.36

22

 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.18 3.12 2.98 2.83 2.67 2.31

23

 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.14 3.07 2.93 2.78 2.62 2.26

24

 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 3.09 3.03 2.89 2.74 2.58 2.21

25

 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 3.06 2.99 2.85 2.70 2.54 2.17

26

 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 3.02 2.96 2.81 2.66 2.50 2.13

27

 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 2.99 2.93 2.78 2.63 2.47 2.10

28

 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.96 2.90 2.75 2.60 2.44 2.06

29

 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00 2.93 2.87 2.73 2.57 2.41 2.03

30

 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.91 2.84 2.70 2.55 2.39 2.01

40

 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.73 2.66 2.52 2.37 2.20 1.80

60

 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.56 2.50 2.35 2.20 2.03 1.60

120

 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.40 2.34 2.19 2.03 1.86 1.38

∞

 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.25 2.18 2.04 1.88 1.70 1.00


 F 분포   ( α = 0.025 )          

                                                                              
　F분포에서 윗쪽확률이 α=0.025 가 되는 %점 F0 을 구한다. （ α = P｛ F > F0 ｝）
예을 들면, 분자 자유도가 2, 분모 자유도가 10의 F 분포에서 윗쪽확률이 0.025가 되는 %점은 왼쪽 첫열의 10으로 쓰여있는 행 (분모 자유도 φ2=10)의 오른쪽을 따라 첫째행에 2라고 쓰여있는 열(분자 자유도 φ1=2)의 값 5.46 이 구하는 값이다.

Ｆ分布　（α = 0.025）

 

 φ1

φ2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

30

∞

1

 647.8 799.5 864.2 899.6 921.8 937.1 948.2 956.7 963.3 968.6 973.0 976.7 984.9 993.1 1001 1018

2

 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.40 39.41 39.41 39.43 39.45 39.46 39.50

3

 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42 14.37 14.34 14.25 14.17 14.08 13.90

4

 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84 8.79 8.75 8.66 8.56 8.46 8.26

5

 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.57 6.52 6.43 6.33 6.23 6.02

6

 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 5.41 5.37 5.27 5.17 5.07 4.85

7

 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76 4.71 4.67 4.57 4.47 4.36 4.14

8

 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30 4.24 4.20 4.10 4.00 3.89 3.67

9

 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96 3.91 3.87 3.77 3.67 3.56 3.33

10

 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.66 3.62 3.52 3.42 3.31 3.08

11

 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.47 3.43 3.33 3.23 3.12 2.88

12

 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.32 3.28 3.18 3.07 2.96 2.72

13

 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25 3.20 3.15 3.05 2.95 2.84 2.60

14

 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15 3.09 3.05 2.95 2.84 2.73 2.49

15

 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06 3.01 2.96 2.86 2.76 2.64 2.40

16

 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 2.93 2.89 2.79 2.68 2.57 2.32

17

 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 2.87 2.82 2.72 2.62 2.50 2.25

18

 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87 2.81 2.77 2.67 2.56 2.44 2.19

19

 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 2.76 2.72 2.62 2.51 2.39 2.13

20

 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.72 2.68 2.57 2.46 2.35 2.09

21

 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80 2.73 2.68 2.64 2.53 2.42 2.31 2.04

22

 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.70 2.65 2.60 2.50 2.39 2.27 2.00

23

 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73 2.67 2.62 2.57 2.47 2.36 2.24 1.97

24

 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70 2.64 2.59 2.54 2.44 2.33 2.21 1.94

25

 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61 2.56 2.51 2.41 2.30 2.18 1.91

26

 5.66 4.27 3.67 3.33 3.10 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59 2.54 2.49 2.39 2.28 2.16 1.88

27

 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.80 2.71 2.63 2.57 2.51 2.47 2.36 2.25 2.13 1.85

28

 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.90 2.78 2.69 2.61 2.55 2.49 2.45 2.34 2.23 2.11 1.83

29

 5.59 4.20 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53 2.48 2.43 2.32 2.21 2.09 1.81

30

 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2.46 2.41 2.31 2.20 2.07 1.79

40

 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39 2.33 2.29 2.18 2.07 1.94 1.64

60

 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.22 2.17 2.06 1.94 1.82 1.48

120

 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16 2.10 2.05 1.94 1.82 1.69 1.31

∞

 5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.99 1.94 1.83 1.71 1.57 1.00
 

 F 분포   ( α = 0.005 )          

                                                                            

　F분포에서 윗쪽확률이 α=0.005 가 되는 %점 F0 을 구하는 표이다. （ α = P｛ F > F0 ｝）
예을 들면, 분자 자유도가 2, 분모 자유도가 10의 F 분포에서 윗쪽확률이 0.005가 되는 %점은 왼쪽 첫열의 10으로 쓰여있는 행 (분모 자유도 φ2=10)의 오른쪽을 따라 첫째 행에 2 라고 쓰여있는 열 ( 분자 자유도 φ1 = 2 )의 값 9.43 이 구하는 값이다.

Ｆ分布　（α = 0.005）

 

 φ1

φ2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

30

∞

1

 16211 20000 21615 22500 23056 23437 23715 23925 24091 24224 24334 24426 24630 24836 25044 25464

2

 198.5 199.0 199.2 199.2 199.3 199.3 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.5 199.5

3

 55.55 49.80 47.47 46.19 45.39 44.84 44.43 44.13 43.88 43.69 43.52 43.39 43.08 42.78 42.47 41.83

4

 31.33 26.28 24.26 23.15 22.46 21.97 21.62 21.35 21.14 20.97 20.82 20.70 20.44 20.17 19.89 19.32

5

 22.78 18.31 16.53 15.56 14.94 14.51 14.20 13.96 13.77 13.62 13.49 13.38 13.15 12.90 12.66 12.14

6

 18.63 14.54 12.92 12.03 11.46 11.07 10.79 10.57 10.39 10.25 10.13 10.03 9.81 9.59 9.36 8.88

7

 16.24 12.40 10.88 10.05 9.52 9.16 8.89 8.68 8.51 8.38 8.27 8.18 7.97 7.75 7.53 7.08

8

 14.69 11.04 9.60 8.81 8.30 7.95 7.69 7.50 7.34 7.21 7.10 7.01 6.81 6.61 6.40 5.95

9

 13.61 10.11 8.72 7.96 7.47 7.13 6.88 6.69 6.54 6.42 6.31 6.23 6.03 5.83 5.62 5.19

10

 12.83 9.43 8.08 7.34 6.87 6.54 6.30 6.12 5.97 5.85 5.75 5.66 5.47 5.27 5.07 4.64

11

 12.23 8.91 7.60 6.88 6.42 6.10 5.86 5.68 5.54 5.42 5.32 5.24 5.05 4.86 4.65 4.23

12

 11.75 8.51 7.23 6.52 6.07 5.76 5.52 5.35 5.20 5.09 4.99 4.91 4.72 4.53 4.33 3.90

13

 11.37 8.19 6.93 6.23 5.79 5.48 5.25 5.08 4.94 4.82 4.72 4.64 4.46 4.27 4.07 3.65

14

 11.06 7.92 6.68 6.00 5.56 5.26 5.03 4.86 4.72 4.60 4.51 4.43 4.25 4.06 3.86 3.44

15

 10.80 7.70 6.48 5.80 5.37 5.07 4.85 4.67 4.54 4.42 4.33 4.25 4.07 3.88 3.69 3.26

16

 10.58 7.51 6.30 5.64 5.21 4.91 4.69 4.52 4.38 4.27 4.18 4.10 3.92 3.73 3.54 3.11

17

 10.38 7.35 6.16 5.50 5.07 4.78 4.56 4.39 4.25 4.14 4.05 3.97 3.79 3.61 3.41 2.98

18

 10.22 7.21 6.03 5.37 4.96 4.66 4.44 4.28 4.14 4.03 3.94 3.86 3.68 3.50 3.30 2.87

19

 10.07 7.09 5.92 5.27 4.85 4.56 4.34 4.18 4.04 3.93 3.84 3.76 3.59 3.40 3.21 2.78

20

 9.94 6.99 5.82 5.17 4.76 4.47 4.26 4.09 3.96 3.85 3.76 3.68 3.50 3.32 3.12 2.69

21

 9.83 6.89 5.73 5.09 4.68 4.39 4.18 4.01 3.88 3.77 3.68 3.60 3.43 3.24 3.05 2.61

22

 9.73 6.81 5.65 5.02 4.61 4.32 4.11 3.94 3.81 3.70 3.61 3.54 3.36 3.18 2.98 2.55

23

 9.63 6.73 5.58 4.95 4.54 4.26 4.05 3.88 3.75 3.64 3.55 3.47 3.30 3.12 2.92 2.48

24

 9.55 6.66 5.52 4.89 4.49 4.20 3.99 3.83 3.69 3.59 3.50 3.42 3.25 3.06 2.87 2.43

25

 9.48 6.60 5.46 4.84 4.43 4.15 3.94 3.78 3.64 3.54 3.45 3.37 3.20 3.01 2.82 2.38

26

 9.41 6.54 5.41 4.79 4.38 4.10 3.89 3.73 3.60 3.49 3.40 3.33 3.15 2.97 2.77 2.33

27

 9.34 6.49 5.36 4.74 4.34 4.06 3.85 3.69 3.56 3.45 3.36 3.28 3.11 2.93 2.73 2.29

28

 9.28 6.44 5.32 4.70 4.30 4.02 3.81 3.65 3.52 3.41 3.32 3.25 3.07 2.89 2.69 2.25

29

 9.23 6.40 5.28 4.66 4.26 3.98 3.77 3.61 3.48 3.38 3.29 3.21 3.04 2.86 2.66 2.21

30

 9.18 6.35 5.24 4.62 4.23 3.95 3.74 3.58 3.45 3.34 3.25 3.18 3.01 2.82 2.63 2.18

40

 8.83 6.07 4.98 4.37 3.99 3.71 3.51 3.35 3.22 3.12 3.03 2.95 2.78 2.60 2.40 1.93

60

 8.49 5.79 4.73 4.14 3.76 3.49 3.29 3.13 3.01 2.90 2.82 2.74 2.57 2.39 2.19 1.69

120

 8.18 5.54 4.50 3.92 3.55 3.28 3.09 2.93 2.81 2.71 2.62 2.54 2.37 2.19 1.98 1.43

∞

 7.88 5.30 4.28 3.72 3.35 3.09 2.90 2.74 2.62 2.52 2.43 2.36 2.19 2.00 1.79 1.00

 

 χ2 분포  (chi square : 카이제곱 분포)     

   χ2 분포의 윗쪽확률　　　　                                           

χ2 분포에서 윗쪽확률이 α 로 되는 %점 χ20 을 구한다. （ α = P｛ χ2 > χ20 ｝）
예를 들어 자유도 2 의 χ2분포에서 윗쪽확률이 0.05 로 되는 % 점은 왼쪽끝에 2 라고 쓰여있는 행 ( 자유도 φ= 2 ) 을 오른 쪽으로 따라 1행째에 0.05 로 쓰여있는 열의 값 5.99 가 구하는 값이다.　
 

χ2 分布

 

 α

φ

0.99

0.98

0.95

0.90

0.80

0.70

0.50

0.30

0.20

0.10

0.05

0.02

0.01

0.001

1

 0.00 0.00 0.00 0.02 0.06 0.15 0.45 1.07 1.64 2.71 3.84 5.41 6.63 10.83

2

 0.02 0.04 0.10 0.21 0.45 0.71 1.39 2.41 3.22 4.61 5.99 7.82 9.21 13.82

3

 0.11 0.18 0.35 0.58 1.01 1.42 2.37 3.66 4.64 6.25 7.81 9.84 11.34 16.27

4

 0.30 0.43 0.71 1.06 1.65 2.19 3.36 4.88 5.99 7.78 9.49 11.67 13.28 18.47

5

 0.55 0.75 1.15 1.61 2.34 3.00 4.35 6.06 7.29 9.24 11.07 13.39 15.09 20.52

6

 0.87 1.13 1.64 2.20 3.07 3.83 5.35 7.23 8.56 10.64 12.59 15.03 16.81 22.46

7

 1.24 1.56 2.17 2.83 3.82 4.67 6.35 8.38 9.80 12.02 14.07 16.62 18.48 24.32

8

 1.65 2.03 2.73 3.49 4.59 5.53 7.34 9.52 11.03 13.36 15.51 18.17 20.09 26.12

9

 2.09 2.53 3.33 4.17 5.38 6.39 8.34 10.66 12.24 14.68 16.92 19.68 21.67 27.88

10

 2.56 3.06 3.94 4.87 6.18 7.27 9.34 11.78 13.44 15.99 18.31 21.16 23.21 29.59

11

 3.05 3.61 4.57 5.58 6.99 8.15 10.34 12.90 14.63 17.28 19.68 22.62 24.72 31.26

12

 3.57 4.18 5.23 6.30 7.81 9.03 11.34 14.01 15.81 18.55 21.03 24.05 26.22 32.91

13

 4.11 4.77 5.89 7.04 8.63 9.93 12.34 15.12 16.98 19.81 22.36 25.47 27.69 34.53

14

 4.66 5.37 6.57 7.79 9.47 10.82 13.34 16.22 18.15 21.06 23.68 26.87 29.14 36.12

15

 5.23 5.98 7.26 8.55 10.31 11.72 14.34 17.32 19.31 22.31 25.00 28.26 30.58 37.70

16

 5.81 6.61 7.96 9.31 11.15 12.62 15.34 18.42 20.47 23.54 26.30 29.63 32.00 39.25

17

 6.41 7.26 8.67 10.09 12.00 13.53 16.34 19.51 21.61 24.77 27.59 31.00 33.41 40.79

18

 7.01 7.91 9.39 10.86 12.86 14.44 17.34 20.60 22.76 25.99 28.87 32.35 34.81 42.31

19

 7.63 8.57 10.12 11.65 13.72 15.35 18.34 21.69 23.90 27.20 30.14 33.69 36.19 43.82

20

 8.26 9.24 10.85 12.44 14.58 16.27 19.34 22.77 25.04 28.41 31.41 35.02 37.57 45.31

21

 8.90 9.91 11.59 13.24 15.44 17.18 20.34 23.86 26.17 29.62 32.67 36.34 38.93 46.80

22

 9.54 10.60 12.34 14.04 16.31 18.10 21.34 24.94 27.30 30.81 33.92 37.66 40.29 48.27

23

 10.20 11.29 13.09 14.85 17.19 19.02 22.34 26.02 28.43 32.01 35.17 38.97 41.64 49.73

24

 10.86 11.99 13.85 15.66 18.06 19.94 23.34 27.10 29.55 33.20 36.42 40.27 42.98 51.18

25

 11.52 12.70 14.61 16.47 18.94 20.87 24.34 28.17 30.68 34.38 37.65 41.57 44.31 52.62

26

 12.20 13.41 15.38 17.29 19.82 21.79 25.34 29.25 31.79 35.56 38.89 42.86 45.64 54.05

27

 12.88 14.13 16.15 18.11 20.70 22.72 26.34 30.32 32.91 36.74 40.11 44.14 46.96 55.48

28

 13.56 14.85 16.93 18.94 21.59 23.65 27.34 31.39 34.03 37.92 41.34 45.42 48.28 56.89

29

 14.26 15.57 17.71 19.77 22.48 24.58 28.34 32.46 35.14 39.09 42.56 46.69 49.59 58.30

30

 14.95 16.31 18.49 20.60 23.36 25.51 29.34 33.53 36.25 40.26 43.77 47.96 50.89 59.70

40

 22.16 23.84 26.51 29.05 32.34 34.87 39.34 44.16 47.27 51.81 55.76 60.44 63.69 73.40

50

 29.71 31.66 34.76 37.69 41.45 44.31 49.33 54.72 58.16 63.17 67.50 72.61 76.15 86.66

60

 37.48 39.70 43.19 46.46 50.64 53.81 59.33 65.23 68.97 74.40 79.08 84.58 88.38 99.61

70

 45.44 47.89 51.74 55.33 59.90 63.35 69.33 75.69 79.71 85.53 90.53 96.39 100.43 112.32

80

 53.54 56.21 60.39 64.28 69.21 72.92 79.33 86.12 90.41 96.58 101.88 108.07 112.33 124.84

90

 61.75 64.63 69.13 73.29 78.56 82.51 89.33 96.52 101.05 107.57 113.15 119.65 124.12 137.21

100

 70.06 73.14 77.93 82.36 87.95 92.13 99.33 106.91 111.67 118.50 124.34 131.14 135.81 149.45

 

 F 분포의 이해  ( 개념은 다른 分布도 같음 )          

동일한 정규모집단 에서 취한 크기 n1, n2 의 두개의 sample 에서 구한 분산을
                V1 = S1 / ( n1 - 1 )        V2 = S2 / ( n2 - 1 )
로 할 때   V1 과  V2의 비
                F0 = V1 / V2                                                                                                     
는 자유도  φ1 =( n1 - 1 ),  φ2 = ( n2 - 1 ) 인 F 분포를 한다.            

 

◈ 모분산의 추정치로 사용되는 불편분산 V 는 sample size가 무한하면 V1 = V2 =  V3 =  …  = σ2 이고  매우 크다면 V1≒ V2 ≒ V3 … 이 예상된다.  전자의 경우(무한) 分散比 F0 = V1 / V2 = 1 이고 후자의 경우는 F0 ≒ 1(?) 이 될 것이다. 그러나  sample이란  뽑을 때마다 분포의 폭만큼 춤추므로 같은 모집단에서의 분산비라도 작은 size의 데이터에서는 엄청난 값이 되었다. (중심극한의 정리가 다시 생각난다)  특히 아래 표의 네 모서리값들에 대해서 주목해 볼 만하다.

◈ 실험에서 오차의 자유도는 아래 수치표의 φ2 이며, 이 자유도를 높이는 방법은 측정회수(실험회수)가 커져야 한다. 이론에 근거함이 아닌 직관으로 이 값을  대략 6 ~ 20 정도로 희망한다. 즉 적어도 6쯤은 되었으면 하겠다는 것이다. 분모의 자유도가 6 미만에서는 급격히 변하는 구간이고 (그 만큼 신뢰성이 떨어지는 곳이다), 20 이상은 얻어지는 신뢰성에 비하여 실험회수 즉 비용이 과다하게 소요된다. 오차의 pooling도 오차의 자유도를 높여 판정에서의 신뢰도를 높이기 위함이다.

 

 

φ1  (분자 자유도)

φ2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

30

∞

1

 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.0 243.9 245.9 248.0 250.1 254.3

2

 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.40 19.41 19.43 19.45 19.46 19.50

3

 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.76 8.74 8.70 8.66 8.62 8.53

4

 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.94 5.91 5.86 5.80 5.75 5.63

5

 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.70 4.68 4.62 4.56 4.50 4.36

6

 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.03 4.00 3.94 3.87 3.81 3.67

7

 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.60 3.57 3.51 3.44 3.38 3.23

8

 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.31 3.28 3.22 3.15 3.08 2.93

 

                                

60

 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.95 1.92 1.84 1.75 1.65 1.39

120

 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.87 1.83 1.75 1.66 1.55 1.25

∞

 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.79 1.75 1.67 1.57 1.46 1.00


◈ 초심자가 헷갈리는 양쪽과 한쪽의 확률표 보기 
       (위에서 t 표를 제외한 모든 표는 한쪽 확률만 표시하고 있음에 유의하자).

① 한쪽확률이면 α = 0.05, α = 0.01 의 F표를 그대로 읽으면 된다
    양쪽확률이면            
           5 %는 α = 0.025 표의 값이다 (∵ 그에 상당하는 작은 쪽의 반이 있다)
           1 %는 α = 0.005 표의 값이다
② 실험결과를 해석하는 분산분석에서는 인자 효과(분산)의 크기를 오차와 대비시키는데, 이 때는 인자의 효과가 오차의 그것보다 크냐, 같으냐 ( 즉 작으냐는 없다)를 확인하는 경우이므로는 항상 한쪽검정에 해당된다. (∵ 인자효과에는 오차분산이 포함되어 오차보다 작을 수는 없기때문에 한쪽검정에 해당된다) 
③ 일반적인 분산비의 검정에서는 양쪽, 한쪽이 있을 수 있다.

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